miércoles, 7 de octubre de 2015

Teorema de Pick e Inducción Matemática

Otra fórmula de área

Cuando hablamos de las fórmulas para el área de un triángulo, dejamos fuera una que es bastante bonita y que, además, funciona para cualquier polígono. Esta fórmula se llama Teorema de Pick y permite calcular el área de un triángulo -de cualquier polígono sin huecos, en realidad- nada más contando. La única condición es que tu figura se encuentre en una cuadrícula y que los vértices de tu figura coincidan con vértices de la cuadrícula. 




Estamos trabajando en el plano que parece una cuadrícula, que pasa por puntos de coordenadas enteras. Vamos a llamar "punto" a los vértices de los cuadritos, es decir, las intersecciones de las rectas. Básicamente, imagina que tienes una hoja de tu libreta de cuadro -chico o grande, da lo mismo-. Es más, no lo imagines: ve por una. Aquí esperamos. 


Nosotros vamos a usar GeoGebra. Elige algunos de los puntos de tu hojita para que sean los vértices de tu polígono. Márcalos. 


Une los puntos con segmentos de recta. Queremos construir un polígono simple -o sea, uno normalito- así que no se vale que los lados se crucen. Sin embargo, no importa si el polígono es convexo o no. Como lo que vamos a hacer es contar puntitos, quizás no quieras hacer un polígono tan grande como el que hicimos aquí.


Para calcular el área de tu polígono solo tienes que contar dos cosas: B = el número de puntos de la cuadrícula que están sobre las aristas de tu polígono, e I = el número de puntos de la cuadrícula que están en el interior de tu polígono. 


En nuestro polígono, I = 95, B = 12. (Contamos los puntos del borde con rojo y los del interior con negro.) El área de tu polígono es I más la mitad de B menos 1. En matemáticas,


Haciendo las cuentas, el área de nuestro polígono tendría que ser 95 + 12/2 - 1 = 100.

Si haces un polígono muy complicado, a lo mejor es medio difícil comprobar que la fórmula fue verdad. Inténtalo con figuras más sencillas como rectángulos, triángulos, etcétera, para que sea más fácil convencerte que es verdad. Por suerte, en GeoGebra podemos pedirle que calcule el área.


Que es justo lo que encontramos contando puntitos. Eso es lo que dice el Teorema de Pick, casi textualmente. Fue propuesto (¿las matemáticas se crean o se descubren?) por Georg Alexander Pick en 1899. Puede generalizarse para polígonos con "huecos" usando algo que se llama Característica de Euler, de la que esperamos hablar con más detalle algún día. 

Inducción Matemática en Geometría

La demostración del Teorema de Pick se hace usando Inducción Matemática. Vamos a repasar muy brevemente qué es la Inducción Matemática y cómo usarla para demostrar cosas de geometría. La Inducción Matemática es una manera de probar cosas para los naturales, usando la manera en que éstos están construidos. Es algo que estudiantes de primaria saben muy bien, cuando pelean hasta que alguien dice "yo uno más que tú" y ya ganó para siempre. 

En 1889, el italiano Giuseppe Peano propuso los siguientes axiomas para construir a los números Naturales. Estos se conocen creativamente con el nombre de Axiomas de Peano
  1. El 1 es un número natural. (Es decir, el conjunto de los naturales es no vacío.)
  2. Todo número natural n tiene un sucesor. 
  3. El 1 no es sucesor de ningún número natural. *
  4. Si n y m son naturales con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número. 
  5. Si 1 pertenece a un conjunto de naturales y, para cualquier elemento del conjunto, su sucesor también pertenece, entonces ese conjunto debe ser el conjunto de los naturales. 
(* A veces se debate si incluir o no al 0 como un Natural. En general, se dice que sí o que no según convenga. En caso de que se haga, solo se cambian los axiomas (1) y (3) para empezar desde 0.)  El quinto axioma es el principio de inducción matemática. Fíjate que demostrar una propiedad para los número naturales puede tomarte demasiado tiempo si lo haces uno por uno, con eso de que los naturales son infinitos y así. Para ello, usamos la Inducción. 

Imagina que tienes una fila de dominós paraditos. Para asegurarte que se caen todos podrías tirarlos uno por uno. También, podrías asegurarte que están acomodados de manera que cada uno tire al que sigue y nada más asegurarte de que el primero de ellos se cae. 


Esto es más o menos lo que hacemos con Inducción Matemática: si una proposición P cumple que
  1. Es cierta para 1, y
  2. Es cierta para k + 1, suponiendo que es cierta para k,
entonces el conjunto de los números que cumplen P es el conjunto de los números naturales. Cuando aprendemos Inducción Matemática en Olimpiada o en un curso de Matemáticas Discretas -o en tu curso de Cálculo-, normalmente la usamos para demostrar algunas propiedades básicas de los números, fórmulas de sumas como Gauss, suma de cuadrados, de cubos, etcétera, y a veces algunos problemas de divisibilidad. Sin embargo, también se puede usar para demostrar cosas de Geometría -claro, siempre y cuando tales "cosas" tengan que ver con los naturales. 

Antes de pasar a la demostración del Teorema de Pick, vamos a ver dos ejemplos:

(1) Demuestra que la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n - 2).

Veamos que esto es cierto para n = 3. El truco es trazar una paralela a una de las bases por el vértice opuesto y usar propiedades de los ángulos entre paralelas. Eso, y la convención de que el ángulo en una recta es de 180º.

Eso demuestra el caso base. Vamos a demostrar que es cierto para n = 3 en adelante. Ahora, vamos a ver qué pasa en un (n+1)-ágono, suponiendo que la fórmula es cierta para un n-ágono:


El truco es sencillo: si unes el primer vértice con el n-ésimo vértice, lo que te queda es un n-ágono y, por hipótesis, la fórmula es cierta para ese polígono. El resto de la figura es un triángulo que ya sabemos que suma 180º.


Si sumamos esas dos cosas que ya sabemos, el resultado es la suma de los ángulos interiores para un (n+1)-ágono, que es justo la que queríamos. Como es cierto para un triángulo, debe ser cierta para un cuadrado; como es cierta para un cuadrado, debe ser cierta para un pentágono; como es cierta para un pentágono... bueno, tú entiendes cómo va. 

(2) Demuestra que el número de diagonales -contando lados- de un polígono de n lados es n(n - 1)/2.

Lo vemos para los primeros casos, para establecer un caso base a partir del cual ya todos los demás funcionen. Es decir, vamos a ver cuál será nuestro primer dominó en caer.


Y ahora vamos a ver qué sucede con el (n+1)-ágono, suponiendo que es cierto para un n-ágono. Es decir, suponemos que un n-ágono tiene n(n - 1)/2 diagonales y vamos a usar ese hecho para contar las de un polígono que tiene un vértice más.


La idea es esencialmente la misma -y es la misma que vamos a usar más adelante, por lo que es importante-. Con los primeros n vértices formas un n-ágono para el cual sabes que la fórmula funciona. Agregando un vértice adicional, las únicas diagonales que falta por contar son las que salen de ese vértice, que son exactamente n. Haciendo la suma, llegamos a la respuesta deseada. 

Si nunca habías visto estas demostraciones usando Inducción, es porque estos dos problemas en particular tienen demostraciones mucho más sencillas sin usarla. Por cierto, cuando usas Inducción ya tienes que tener en claro qué es lo que quieres demostrar. Inducción no es una manera de deducir fórmulas, únicamente de demostrarlas. Para el primer problema puedes triangular de dos maneras distintas; para el segundo problema puedes usar combinatoria.



Teorema de Pick

Ahora sí, vamos a demostrar el Teorema de Pick usando Inducción Matemática y dibujitos. Nos preocuparemos más en dejar la demostración clara en lugar de formal. Además, de manera tramposa, nos vamos a saltar la demostración del caso base, es decir, no vamos a demostrar que esto es cierto para los triángulos. El trabajo que vamos a hacer es demostrar que si fuera cierto para los triángulos, sería cierto para todos los polígonos. 

Consideramos un n-ágono y un triángulo, tales que tienen un lado en común. Además, suponemos que podemos calcular el área de ambos usando el Teorema de Pick; es decir, que para ambos conocemos la cantidad de puntos en el interior y en el borde, y que aplicando la fórmula obtenemos el área. Queremos ver que la fórmula también aplica para el área que se forma en la unión. 


Veamos qué pasa con los puntos de cada tipo. Los puntos del Interior del amarillo y los puntos del Interior del morado siguen siendo puntos del interior. El cambio es que los puntos que estén sobre el borde en común ahora también pasan a ser puntos del Interior del polígono. 

Esos puntos -señalados con rojo y sin importar cuántos sean- los debemos restar dos veces -porque los estamos sumando como puntos en el borde de cada figura- y luego los sumamos de nuevo -ahora como puntos interiores-. Si recordamos la fórmula, los puntos del borde se cuentan la mitad; así que restarlos dos veces y sumarlos una vez lo deja igual que antes. (A estos puntos los llamamos x en las cuentas de más abajo.)

Ahora, faltan los puntos del borde que son vértices en común -señalados con rosa-. Esos puntos los estamos contando como puntos en el borde de cada figura; si nada más sumamos, entonces los estaríamos contando dos veces. Sin embargo, estos puntos siempre son 2 y los del borde se cuentan a la mitad; así, bastaría con restar 1 para mantener las cosas en equilibrio. 

Así, sumar las áreas de los dos polígonos que ya teníamos usando Pick, es lo mismo que calcular Pick para el nuevo polígono. Acá van las cuentas más o menos esquematizadas:


Que dicen que la suma de las áreas -calculadas usando Pick- nos arroja lo mismo que si calculáramos Pick para el nuevo polígono. Es decir, el Teorema de Pick se sostiene para cualquier polígono -si se sostiene para un triángulo. 


Para hacer en casa:

Haz mil polígonos en tus hojas de libreta a cuadro y calcula su área usando el Teorema de Pick. Compáralo con otros métodos de calcular área -como contar cuadritos o triangular-. 

Esperamos tus comprobaciones en nuestro escritorio el lunes. 




Para aprender más:

Repasa lo que aprendimos aquí sobre Inducción Matemática con ejercicios más algebraicos y de divisibilidad. En nuestro Diminuto Curso de Teoría de Números tenemos muchos para que te entretengas. 




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