miércoles, 11 de enero de 2017

7 Problemas abiertos que te darán ganas de intentar en casa

Problemas abiertos

Existen muchísimos problemas abiertos en matemáticas. Las preguntas diarias que se hacen los matemáticos llevan a crear nuevos problemas cada día; su trabajo también hace que algunos encuentren su solución. No todos los problemas abiertos están hechos igual: algunos pasan solo un par de horas sin solución mientras que los más famosos aguantan siglos. 

En años recientes, hemos vivido para ver resueltos algunos de esos legendarios problemas. En 1995, Andrew Wiles demostró -en su segundo intento público- el Ultimo Teorema de Fermat, propuesto en 1637. En 2002, Preda Mihailescu demostró la Conjetura de Catalán, abierto desde 1884. En noviembre de 2002, Grigori Perelmán publicó sus artículos que demostraban la Hipótesis de Poincaré, propuesta en 1904. En 2012, el peruano Harald Helfgott demostró la Conjetura Débil de Goldbach, la parte "fácil" del problema abierto desde 1742. Resolver un problema que estuvo abierto por siglos es un enorme paso adelante en matemáticas y no es poco frecuente que la solución utilice técnicas o herramientas no disponibles cuando fue originalmente propuesto. 

Además, cada cierto tiempo, los matemáticos se reúnen para hacer listas de cuáles entre todos los problemas abiertos son los más importantes. En 1900, David Hilbert planteó una lista de 23 problemas -él presentó 10 en el Congreso Internacional- que indicaban el rumbo y las prioridades que Hilbert consideraba importantes para las matemáticas del siglo XX. Así tenemos, por ejemplo, los problemas del Milenio del Instituto Clay, planteados en el año 2000, que ofrecen un millón de dólares por solución; de los 7 problemas que hacían la lista, únicamente uno ha sido resuelto -y Perelmán renunció al premio. Así, las listas de problemas abiertos ayudan a definir prioridades y establecer un estado de la cuestión. 


Lo que queremos hacer hoy es presentarte 7 problemas abiertos -de distintos temas y áreas- que son extremadamente sencillos de plantear y entender, pero no igualmente sencillos de resolver.




7. El problema del Sofá


Si alguna vez te has mudado -o has ayudado en la limpieza de primavera a mover muebles- quizás te haya tocado la mala suerte de un mueble que no cabe en un pasillo. Los sillones largos, por ejemplo, son difíciles de mover a través de las esquinas.

PIVOOOOOT!

Este problema, que motiva esta entrada, es exactamente así de sencillo; de hecho, un poco más. Pregunta cuál es la mayor área que puede tener una figura para moverse a través de una esquina formada por dos pasillos unitarios. Por eso se llama el problema del sofá.


Aunque parezca sencillo, el problema planteado en 1966 no tiene solución conocida. Una figura demasiado larga sencillamente no va a girar porque se atoraría en la esquina; si es tan ancho como el pasillo ni siquiera tiene espacio para moverse. Hasta el momento, lo que se han podido plantear son cotas: valores que la solución no puede superar. John Hammersley demostró la cota superior de 2√2, aproximadamente 2.8284, pero el valor más grande conocido es de 2.2195 por Joseph Gerver. 

Yo encontré que un cuadrado unitario puede moverse por el pasillo, pero eso no ayuda demasiado. Este problema lo puedes intentar desde la comodidad de tu casa, jugando con los muebles del hogar.

6. Los números raros y perfectos


Un número entero se dice abundante si la suma de sus divisores propios (es decir, sin contar al número) es mayor que el número. El menor número abundante es 12 pues 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. 

Un número entero se dice perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios. Un número entero se dice semiperfecto si es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. 

Ahora sí: un número raro es un número abundante que no es semiperfecto. Es decir, la suma de sus divisores propios es mayor al número pero ningún subconjunto de los divisores propios del número suman el número original. 



Se sabe, por ejemplo, que el 70 es el menor número raro. Algunos de los primeros números raros son 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792. Además, si un número es raro, algunos de sus múltiplos también serán números raros; a los números raros que no tienen como divisor a otro número raro se les llama primitivos



Hay un par de problemas abiertos sobre los números raros: (1) ¿Existen números impares raros? Hasta ahora no se conoce ninguno y se ha revisado hasta 10^21, es decir, un 1 seguido de 21 ceros. (2) ¿Existen infinitos números raros primitivos? 

El problema abierto sobre los números perfectos es similar: ¿Existe algún número perfecto impar? Esta es una conjetura de 1496, pues Jacques Lefevre aseguraba que la regla de Euclides generaba todos los números perfectos -y, por lo tanto, que no existen perfectos impares-. Hasta el momento no se conoce ninguno y se le han puesto condiciones tan estrictas que, según Silvestre, sería prácticamente un milagro que existiera alguno.  

¿Qué tanto le puedes avanzar a este problema desde casa? Realmente dependerá de la potencia de tu calculadora, de la paciencia que le tengas a Excel o de tu capacidad para programar y esperar un ratito. Como con algunos otros de los problemas que vamos a incluir en esta lista, varios de los avances conocidos son asistidos por computadoras y tú tienes una en tu mano: haz tu parte. 

5. Números amistosos y números amigos


Al menos en el planteamiento, este problema es similar al anterior. Los números amigos ("amicable", en inglés) cumplen que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro. La menor pareja de números amigos conocida es 220 y 284: los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284; los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220. Otras parejas conocidas son 1184 y 1210, 2620 y 2924, 66928 y 66992.

Todas las parejas conocidas son ambos números pares o ambos números impares, no se conoce ninguna pareja con un número par y uno impar, pero tampoco se sabe si es posible o no. Además, todas las parejas conocidas tienen al menos un factor primo en común pero no se sabe si esta es una condición necesaria: ¿existen parejas de números amigos coprimos?


Los números amistosos ("friendly" en inglés) tienen la misma abundancia. La abundancia ("abundancy" en ingles) de un número se define como la razón de la suma de sus divisores propios entre el número mismo. Por ejemplo, la abundancia de 12 es (1 + 2 + 3 + 4 + 6)/12 = 16/12 = 4/3.

Más de una pareja puede tener la misma abundancia. De hecho, la amistosidad (?) es una relación de equivalencia. Los números que no son amistosos con ningún otro se llaman solitarios.




Se sabe que todos los números primos y sus potencias son solitarios. El 10 es el menor entero del que no se sabe si es amistoso o solitario. La solitariedad (?) o no de números individuales son problemas abiertos por sí mismos.

Un número solitario está en un "club" por su cuenta. El "club" de los números amistosos con abundancia 9 se sabe que tiene al menos 2094 miembros. No se sabe tampoco si hay "clubs" infinitamente grandes de números amistosos.

4. Conjetura de los corredores solitarios

Imagina que hay k corredores en una pista circular unitaria. En el principio, todos parten del mismo punto al mismo tiempo y sus velocidades son todas diferentes entre sí. Se dice que un corredor está solo en el tiempo t si la distancia a cada uno de los demás corredores en el tiempo t es al menos 1/k. 




La pregunta: sin importar las velocidades iniciales, ¿cada corredor está solo en algún momento?



Se sabe que esto es cierto para 1 a 7 corredores. Además, en 2011, Dubickas encontró una condición suficiente para un número de corredores suficientemente grande. Es decir, hay una importante cantidad de corredores para los que no se sabe nada.

Puedes correr (¡ja!) simulaciones en algún programa, pero debes recordar que asignar velocidades en específico no lo demuestra para el caso general. Si programar no es lo tuyo, puedes salir al parque con un grupo de amigos y hacer varios experimentos; recuerden correr a velocidad constante o tendrán que repetirlo.


3. Problema del Final Feliz

En realidad, estamos hablando de la conjetura Erdös-Szekeres. El problema del final feliz fue bautizado así por Paul Erdös, pues trabajar en él llevo al matrimonio entre George Szekeres y Esther Klein, y fue uno de los resultados que llevaron a la teoría de Ramsey.

El problema del final feliz dice que cualquier conjunto de 5 puntos en el plano, tal que no tres de ellos son colineales, contiene un conjunto de 4 que forman un cuadrilátero convexo.

Este es el ejemplo de Wikipedia, donde los cuadriláteros no solo son convexos, además son vacíos, es decir, ningún otro punto del conjunto está dentro:


La conjetura de Erdös-Szekeres afirma que para poder hacer un k-ágono convexo se necesitan al menos 2^(n-1) + 1 puntos en posición general. Dicho problema continúa abierto, es decir, sin prueba que demuestre o refute la conjetura, aunque se sabe que es cierto para n = 1, 2, 3, 4, 5. Erdös y Szekeres conjeturaron cotas inferior y superior, donde la superior ha sido mejorada en años recientes.

En mayo del año pasado, Andrew Suk publicó un artículo en el que asegura haber demostrado la conjetura. Sin embargo, la mayoría de los sitios consultados aseguran que el problema sigue abierto, de modo que quizás no haya sido revisado por completo (Andrew, como Perelmán, subió su artículo a arxiv en lugar de enviarlo a una revista peer-review para su revisión y publicación).

En 1935, los mismos matemáticos generalizaron en parte el resultado del final feliz con el siguiente teorema: para todo N entero, un conjunto suficientemente grande de puntos en el plano en posición general tiene un subconjunto de N puntos que forman los vértices de un polígono convexo. Este teorema llevó a un problema abierto adicional: ¿siempre se puede formar el polígono convexo para que sea vacío?


Es complicado trabajar esto sin una computadora pero puede ser bastante entretenido para ti y todas las personas en tu casa. Lo primero que necesitas son puntos en posición general de modo que necesitas ayuda de tu mascota o tu hermanita pequeña para que te dibuje puntos en una hoja. El resto es trabajar con tu imaginación y tu capacidad espacial.

2. Teselaciones pentagonales


Una teselación es una manera de llenar el plano -sí, el plano infinito- con pequeños mosaicos idénticos. Pueden ser de una única figura, de dos o tres o las que sean. Piensa en los distintos mosaicos que puedes encontrar en el piso o en las paredes: cuadrados, triángulos rectángulos isósceles, triángulos equiláteros, hexágonos regulares y ciertos rombos son figuras que -de manera independiente- pueden teselar el plano. 





Y también se pueden hacer algunas más variadas



El problema que tenemos entre manos pregunta por todas las teselaciones monohedrales convexas pentagonales. En español, teselaciones con figuras convexas -sus ángulos interiores son menores a 180 grados-, que tengan 5 lados rectos -pentagonales-, y que usen únicamente un tipo de figura o mosaico -monohedrales-. A diferencia de triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, un pentágono regular no tesela el plano pues 108 no es un divisor de 360.

Se conocen actualmente 15 tipos de pentágonos que cumplen estas condiciones pero no se sabe si esta lista está completa o no. El más reciente, el tipo 15, se descubrió apenas el año 2015.

Estos "tipos" no describen un único pentágono. En general definen condiciones sobre sus lados y ángulos de modo que es posible que algún pentágono específico pertenezca a más de un tipo. Los primeros 5 fueron descubiertos por Reinhardt en 1918; Kershner en 1968 descubrió los siguientes 3; Richard E. James descubrió el siguiente en 1975, después de leer sobre Kershner en la columna de Martin Gardner; Marjorie Rice, una matemática amateur, descubrió 4 tipos entre 1976 y 1977; el decimocuarto llegó hasta 1985, obra de Rolf Stein; finalmente, en 2015, Casey Mann, Jennifer McCloud y David Von Derau encontraron un decimoquinto tipo de mosaico pentagonal, asistidos por computadora.



De los 15 tipos conocidos, 5 fueron descubiertos por matemáticos amateur. Antes de embarcarte en tu búsqueda por el decimosexto tipo de teselación pentagonal, asegúrate de entender las quince que ya conocemos para que no vayas a repetir.

Te aseguramos horas y horas de diversión. 

1. Conjetura de Collatz


Como casi todos los problemas en esta lista, este problema es de Teoría de Números. Vamos a construir una regla para los números: si estamos en un número par, le sacamos mitad; si estamos en un número impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Esto es una función para los números enteros positivos. Lo que vamos a estudiar es la órbita de la función, es decir, los valores que resultan de aplicar sucesivamente nuestra regla. 

Si empezamos con 3 seguimos con 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. 

Si empezamos con 2017 seguimos con 6052, 3026, 1513, 4540, 2270, 1135, 3406, 1703, 5110, 2555, 7666, 3833, 11500, 5750, 2875, 8626, 4313, 12940, 6470, 3235, 9706, 4853, 14560, 7280, 3640, 1820, 910, 455, 1366, 683, 2050, 1025, 3076, 1538, 769, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. En total son 68 pasos que calculé porque pensé que sería más sencillo que eso. 

Si empezamos con 11 la sucesión es 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Si empezamos con 27 necesitamos 112 pasos antes de llegar a 1.  

Si quieres calcular tu propio número, SuperDragon2014 tiene una calculadora en Scratch para que te diviertas. Incluso funciona con números decimales. 



La conjetura dice, sencillamente, que sin importar en qué número empiece, eventualmente terminarás en 1. Con asistencia computacional se sabe que esto es así para números menores a 2^58. Se conocen además varios resultados parciales: los números que son suma de potencias pares de 2 (como 5 = 1+4, 21 = 1 + 4 + 16) llevan rápidamente al 1; algo parecido si tomamos los números anteriores y les ponemos un 3 al final (como 53 y 213). En 2011, el matemático alemán Gerhard Opfer aseguraba tener prueba de la conjetura, pero su solución tenía un diminuto aunque mortal error. 


Este problema puede revertirse: empezando con 1, 2, 4, ¿se puede llegar a todos los números enteros? Esta es una manera en que el problema ha sido abordado, visualmente muy interesante.  

Leí sobre este problema por primera vez hace unos 15 años, cuando un libro de problemas abiertos en Teoría de Números cayó en mis manos más o menos por accidente. Me llamó muchísimo la atención porque parecía algo extremadamente sencillo pero, como ya habrás notado del resto de problemas en esta lista, la verdad es que no es así. Algo similar le sucedió a Andrew Wiles, quien estuvo por años hipnotizado con la simpleza y complejidad del Último Teorema de Fermat. Esa es quizás la magia que tienen los problemas abiertos en matemáticas. 






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